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«"[..] in questo modo avrei preso tutto il meglio dell'analisi geometrica e dell'algebra e avrei corretto tutti i difetti dell'una per mezzo dell'altra."»

(Cartesio, "Discorso sul metodo".)

In mwcqmatematica, un mwcgsistema di riferimento cartesiano è un mwcwsistema di riferimento formato da mwda n {\displaystyle n} rette mwdqortogonali,cite-ref-1[1] intersecantisi tutte in un punto chiamato mwegorigine, su ciascuna delle quali si fissa un mweworientamento (sono quindi mwfarette orientate) e per le quali si fissa anche un'unità di misura (cioè si fissa una mwfqmetrica di solito mwfgeuclidea) che consente di identificare qualsiasi punto dell'mwfwinsieme mediante mwga n {\displaystyle n} mwgqnumeri reali. In questo caso si dice che i punti di questo insieme sono in uno spazio di mwggdimensione mwgw n {\displaystyle n} .

Un sistema di riferimento cartesiano in due dimensioni viene chiamato piano cartesiano. Per identificare la posizione di punti nello mwhqspazio fisico viene solitamente utilizzato un sistema di riferimento cartesiano a tre dimensioni. Tuttavia per descrivere la posizione di oggetti più complicati vengono utilizzati altri sistemi di riferimento non necessariamente cartesiani e un differente numero di dimensioni, dette in questo contesto mwhggradi di libertà.

Usando un sistema di riferimento cartesiano, è possibile descrivere tramite equazioni algebriche forme geometriche come curve o superfici: i punti dell'oggetto geometrico sono quelli che soddisfano l'equazione associata. Per esempio è possibile descrivere una mwiacirconferenza nel piano cartesiano, oppure una mwiqquadrica nello spazio tridimensionale.

• Storia

• Piano cartesiano

• Il piano cartesiano come spazio vettoriale

• Generalizzazione a tre dimensioni

• Geometria analitica

• Forma esplicita e forma implicita

• L'equazione della retta

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

L'uso delle coordinate geometriche venne introdotto per la prima volta da mwjqNicola d'Oresme, matematico del XIV secolo operante a Parigicite-ref-2[2]. L'aggettivo mwkgcartesiano è riferito al mwkwmatematico e mwlafilosofo mwlqfrancese mwlgRené Descartes (latinizzato in mwlw Renatus Cartesius, italianizzato in mwmaRenato Cartesio), il quale, tra le altre cose, riprendendo gli studi di Nicola d'Oresme, lavorò sulla fusione dell'mwmqalgebra con la mwmggeometria euclidea. Questi studi furono influenti nello sviluppo della mwmwgeometria analitica, del mwnacalcolo infinitesimale e della mwnqcartografia.

L'idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti da mwnwCartesio e, indipendentemente, da mwoaPierre de Fermat, anche se Fermat non pubblicò la sua scopertacite-ref-3[3]. Nella seconda parte del suo mwpqDiscorso sul metodo, Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di un mwpgpunto o di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura, idea ripresa in mwpwmwqaLa Geometria cite-ref-4[4].

Un sistema di coordinate cartesiane ortogonale in due dimensioni è semplicemente chiamato piano cartesiano, ed è costituito da:

• l'asse delle ascisse, orizzontale, che costituisce la retta di riferimento, chiamata da Oresme mwsqlongitudo (solitamente caratterizzata dalla lettera mwsg x {\displaystyle x} );

• l'asse delle ordinate, verticale, che costituisce la retta ortogonale alla retta di riferimento, chiamata da Oresme mwtalatitudo (solitamente caratterizzata dalla lettera mwtq y {\displaystyle y} );

• l'origine, il punto nel quale le due rette si incontrano.

Il piano cartesiano, che viene spesso chiamato mwua x y {\displaystyle xy} dal nome degli assi, può essere immaginato, pensando che il piano sia immerso orizzontalmente nello spazio fisico (pavimento), e mettendosi in piedi in un punto con il braccio sinistro teso in avanti e il braccio destro teso di lato in modo da formare con le due braccia un mwuqangolo retto: il punto sul quale si sta in piedi rappresenta l'origine, la direzione del braccio destro rappresenta l'asse delle ascisse positive (dalla parte opposta le ascisse negative), la direzione del braccio sinistro rappresenta l'asse delle ordinate positive (alle spalle le ordinate negative).

Il sistema costituito dalla coppia dei due assi orientati (e implicitamente dall'origine) consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente mwwwascissa e mwxaordinata del punto, i cui valori assoluti rappresentano le distanze del punto rispettivamente dall'asse mwxq y {\displaystyle y} (ordinata) e dall'asse mwxg x {\displaystyle x} (ascissa). Le coordinate di un punto generico del piano o di un punto che si pensa variabile spesso si denotano con mwxw x {\displaystyle x} e mwya y {\displaystyle y} . I punti sull'asse mwyq x {\displaystyle x} hanno quindi ordinata mwyg y = 0 {\displaystyle y=0} , mentre i punti sull'asse mwyw y {\displaystyle y} hanno ascissa mwza x = 0 {\displaystyle x=0} ; di conseguenza l'origine ha coordinate mwzq x = 0 {\displaystyle x=0} e mwzg y = 0 {\displaystyle y=0} . Talora il sistema dei due assi si denota con mwzw O x y {\displaystyle Oxy} .

Un generico punto si può quindi esprimere scrivendo mwaq ( x ; y ) {\displaystyle \left(x;y\right)} oppure mwag ⟨ ⟨ x ; y ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle x;y\rangle } . Ad esempio, i punti mwaw ( 2 ; 3 ) {\displaystyle (2;3)} e mwba ( 2 ; 5 ) {\displaystyle (2;5)} hanno la stessa ascissa (quindi si trovano su una retta parallela all'asse mwbq y {\displaystyle y} ), mentre i punti mwbg ( 2 ; 3 ) {\displaystyle (2;3)} e mwbw ( − − 1 ; 3 ) {\displaystyle (-1;3)} hanno la stessa ordinata (quindi si trovano su una retta parallela all'asse mwca x {\displaystyle x} ). In particolare: se due punti hanno la stessa ascissa ma ordinate opposte sono mwcqsimmetrici rispetto all'asse mwcg x {\displaystyle x} ; se due punti hanno la stessa ordinata ma ascisse opposte sono simmetrici rispetto all'asse mwcw y {\displaystyle y} ; se due punti hanno coordinate opposte sono simmetrici rispetto all'origine.

Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate mwdqquadranti, indicate mediante mwdgnumeri romani progressivi in senso antiorario:

• I quadrante: comprende i punti aventi ascissa e ordinata positive;

• II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa e ordinata positiva;

• III quadrante: comprende punti aventi ascissa e ordinata negative;

• IV quadrante: comprende punti aventi ascissa positiva e ordinata negativa.

Il piano cartesiano permette di rappresentare graficamente mwfqfunzioni di equazione mwfg y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} in cui mwfw x {\displaystyle x} è la variabile indipendente e mwga y {\displaystyle y} la variabile dipendente. Ciò permette di visualizzare la "forma" delle funzioni (o curve) e risolvere graficamente sistemi di più equazioni come intersezioni tra le curve corrispondenti.

Per definizione, esiste una mwgwcorrispondenza biunivoca fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali. L'insieme di tutte le coppie di numeri reali, mwha R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} è un mwhq R {\displaystyle \mathbb {R} } -mwhgspazio vettoriale. La mwhwbase canonica di mwia R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} è mwiq E = ( E 1 , E 2 ) {\displaystyle E=\left(E_{1},E_{2}\right)} ove mwig E 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle E_{1}=\left(1,0\right)} ed mwiw E 2 = ( 0 , 1 ) {\displaystyle E_{2}=\left(0,1\right)} . Gli elementi di mwja E {\displaystyle E} hanno un importante significato geometrico: sono i mwjqversori fondamentali sul piano, rispettivamente mwjg ı ı → → {\displaystyle {\vec {\imath }}} e mwjw ȷ ȷ → → {\displaystyle {\vec {\jmath }}} . Ciò vuol dire, per la definizione stessa di base di uno spazio vettoriale, che il piano cartesiano è generato dai versori fondamentali e che ogni punto del piano è esprimibile, mwkain modo unico, come mwkqcombinazione lineare dei versori fondamentali (ciò giustifica l'espressione dei punti del piano cartesiano). Si noti inoltre che ogni asse cartesiano è mwkgsottospazio vettoriale del piano cartesiano.

Aggiungendo una terza dimensione al piano otteniamo lo mwnwspazio euclideo tridimensionale, che è la modellizzazione a noi più familiare dello spazio fisico, e quella usata in mwoameccanica classica: un sistema di assi cartesiani può quindi essere usato come mwoqsistema di riferimento per localizzare degli oggetti nello spazio, attribuendogli delle coordinate.

Essendo una diretta generalizzazione del piano cartesiano, un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale è formato da tre rette orientate perpendicolari tra loro e incidenti in un punto, denominato origine degli assi. I tre assi (chiamati solitamente mwow x , y {\displaystyle x,\;y} e mwpa z {\displaystyle z} ) identificano tre piani nello spazio (mwpq x y {\displaystyle xy} , mwpg x z {\displaystyle xz} e mwpw y z {\displaystyle yz} ), che dividono lo spazio in otto mwqaottanti, simili ai quattro quadranti formati dagli assi cartesiani in due dimensioni. Ogni punto è identificato da 3 coordinate, che rappresentano ognuna la distanza del punto al piano formato dagli altri due.

Come nel caso del piano, ogni punto dello spazio tridimensionale può essere individuato da un vettore nello spazio tridimensionale (indicato come mwqg R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ) e viene espresso come mwqwcombinazione lineare dei tre mwraversori di base, indicati convenzionalmente con mwrq ı ı ^ ^ {\displaystyle {\hat {\imath }}} , mwrg ȷ ȷ ^ ^ {\displaystyle {\hat {\jmath }}} e mwrw k ^ ^ {\displaystyle {\hat {k}}} :

mwsg v → → = x ı ı ^ ^ + y ȷ ȷ ^ ^ + z k ^ ^ {\displaystyle {\vec {v}}=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}}

dove mwta x {\displaystyle x} , mwtq y {\displaystyle y} e mwtg z {\displaystyle z} rappresentano proprio le coordinate nel punto nel sistema di riferimento formato dalla base mwtw ( ı ı ^ ^ , ȷ ȷ ^ ^ , k ^ ^ ) {\displaystyle ({\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}}\,\!)} .

Il piano cartesiano (e più in generale il sistema di riferimento cartesiano a mwug n {\displaystyle n} dimensioni) ha permesso di conciliare la mwuwgeometria e l'mwvaalgebra in un'unica branca della mwvqmatematica: la mwvggeometria analitica (chiamata così dall'mwvwanalisi matematica). Per esempio nel piano cartesiano una retta rappresenta le soluzioni di un'equazione di primo grado in due variabili mwwa x {\displaystyle x} e mwwq y {\displaystyle y} del tipo mwwg a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} ; l'intersezione di due (o più) rette rappresenta un mwwwsistema di equazioni lineari.

Vedi il commento inserito poco dopo l'inizio della sezione. Inoltre fa solo l'esempio della retta (che tra l'altro è trattato già nella sezione seguente che è dediata ad essa, ed è già stata portata ad esempio qui subito sopra), non è affatto chiaro che possano riguardare anche altri casi

Le equazioni di cui si è detto prima possono essere espresse in due forme: la forma esplicita e la forma implicita.

Manca la precisazione che esse sono due (sotto)tipi di forma cartesiana; oltre a quest'ultima c'è anche la forma parametrica. Si veda [[Retta nel piano cartesiano#Definizione]]

Nel caso ad esempio di una retta, la prima consiste un'mwyaequazione del tipo mwyq y = m x + q {\displaystyle y=mx+q} , mentre la seconda si presenta come mwyg a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} . Per passare dalla forma implicita a quella esplicita basta portare tutti i termini escluso mwyw b y {\displaystyle by} nel secondo mwzamembro e poi dividere per mwzqb (mwzgmwzwprincipio di equivalenza delle equazioni). Si noti che, nella forma esplicita, il mw0atermine noto mw0q q {\displaystyle q} , detto mw0gintercetta o ordinata all'origine, indica l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse mw0w y {\displaystyle y} , mentre il mw1acoefficiente dell'incognita mw1q x {\displaystyle x} , mw1g m {\displaystyle m} , è detto mw1wcoefficiente angolare ed indica la "pendenza" della mw2aretta. Naturalmente il passaggio dalla forma implicita a quella esplicita è possibile solo se il coefficiente mw2q b {\displaystyle b} è diverso da zero, cioè solo se la retta non è parallela all'asse delle ordinate.

Dati due punti distinti mw3q A = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle A=(x_{1},y_{1})} e mw3g B = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle B=(x_{2},y_{2})} , l'equazione della retta passante per quei punti è: mw3w x − − x 1 x 2 − − x 1 = y − − y 1 y 2 − − y 1 {\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}} anche detta mw4a y = m x + q {\displaystyle y=mx+q} dove mw4q m {\displaystyle m} è il coefficiente angolare dato da mw4g Δ Δ y Δ Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}} .

cite-note-11. ↑ Più in generale, non è necessario che le rette siano ortogonali tra loro, ma i sistemi ortogonali sono più semplici da usare.

cite-note-22. ↑ mw7aLudovico Geymonat, mw7qStoria del pensiero filosofico e scientifico, Milano, Aldo Garzanti, 1970-1971.

cite-note-33. ↑ "analytic geometry". mw8qEncyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online), 2008. Consultato il 02-08-2008.

cite-note-44. ↑ mw9q(mw9gmw9wFRmw-a) mw-qDescartes, René, mw-gmw-wLa Géométrie, p.mw-a Livre Premier: Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites (Book one: Problems whose construction requires only circles and straight lines).

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• mware(EL) Sauer R, Szabó I, Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, New York, Springer Verlag, 1967, LCCN 67-25285.

• mwaruCartesio

• mwarcDiagramma

• mwarkPiano complesso

• mwarsRetta dei numeri reali

• mwar0Retta nel piano cartesiano

• mwar8Sistema di riferimento

• mwaseSistema di coordinate polari

• mwasmSistema di coordinate terrestri

• mwasuSpazio (fisica)

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul sistema di riferimento cartesiano

• citerefenciclopedia-della-matematica-2013Coordinate cartesiane, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefenciclopedia-della-matematica-2013Riferimento cartesiano, sistema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefbritannica-com(EN) Stephen Eldridge, Cartesian coordinates, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefopen-library(EN) Opere riguardanti Cartesian coordinates, su Open Library, Internet Archive.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Cartesian Coordinates, su MathWorld, Wolfram Research.

• citerefspringereom(EN) Cartesian orthogonal coordinate system, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

• mwasw(EN) Costruire oggetti di geometria analitica, su mygeometryteacher.com. URL consultato il 3 marzo 2008 (archiviato dall'url originale il 15 settembre 2017).